Im folgenden stelle ich eine kleine Anleitung zum Überprüfen von
Zeitreihen auf lineare Trends dar.
Ich habe also eine Zeitreihe mit einer Anzahl n von Messwerten xk (k=1 bis k=n), die immer in gleichen Zeitabständen aufgezeichnet wurden (z.B. Monatsmittelwerte der Temperatur aller Juli-Monate der Jahre 1905 bis 1966, oder den Luftdruck um 13.00 MEZ vom 28.2. bis 21.10.1871,...)
Überprüft werden soll nun, ob diese Zeitreihe {x} einen linearen Trend zeigt.
Wir setzen voraus, daß die Messwerte von allen systematischen Fehlern bereinigt sind (Instrumentenwechsel, Standortverlagerung,...).
Dann bildet man zunächst die üblichen Maßzahlen zur Stichprobenbeschreibung.
1. den Mittelwert m = (x1+x2+...+xn)/n
2. die Standardabweichung s, dazu bilden wir zunächst
a) die Quadrate aller Messwerte x1*x1, x2*x2, ... xn*xn und
b) summieren diese Quadrate SQ = x1^2 + x2^2 +... + xn^2.
c) Die sogenannte Varianz (oder Streuung) V = s^2 ergibt sich dann zu:
V = 1/(n-1) * [SQ - n*m^2] und damit
d) die Standardabweichung s = wurzel (V).
Diese beiden Werte m und s charakterisieren die Zeitreihe schon ziemlich gut.
Nicht nur der Mittelwert ist wichtig, sondern auch die Standardabweichung. Sie wird um so größer, je weiter die Messwerte vom Mittelwert abweichen. Zwei Zeitreihen können zwar denselben Mittelwert haben, aber bei der Zeitreihe mit der größeren Standardabweichung werden extremere Werte eher mal tatsächlich erreicht.
Aber was sagen diese Maßzahlen über die Zukunft der Zeitreihe?
Kann ich behaupten, daß alle zukünftigen Messwerte in einem bestimmten Band um den berechneten Mittelwert liegen?
Und wie breit wäre dieses Band?
Die Antwort lautet schlicht:
Über die Zukunft läßt sich keine Aussage treffen, solange man nicht weiß,
wie die Messwerte entstehen. Alleine aus dem Verlauf der Zeitreihe läßt sich ohne das Hinzuziehen zusätzlicher Annahmen oder Modelle nichts schließen!
Wenn das nicht möglich ist, was läßt sich sonst von der Zeitreihe
lernen?
Naja, nicht viel, wenn man nicht ein paar Annahmen macht. Eine häufige Annahme ist, daß die vorliegende Zeitreihe ein Ausschnitt oder eine Stichprobe aus einer Normalverteilung (allgemeiner einer Grundgesamtheit GG) ist. Diese Normalverteilung ist unbekannt, weil sich klimatische Messwerte auf Dauer verändern (Klimaänderung) und sich das Wetter sich nicht nochmal ablaufen lassen kann. Man kann die Zeitreihe aber überprüfen, ob sie eine Stichprobe
einer Normalverteilung sein könnte.
Wenn das der Fall ist, so wird der Mittelwert interessant. Der stimmt dann nämlich in gewissen Grenzen mit dem Mittelwert M dieser unbekannten Normalverteilung überein. Es ist dann: |m-M| < t * s/wurzel(n), d.h. die Differenz (der Fehler) zwischen Stichproben-Mittelwert m und Mittelwert der GG wird begrenzt durch der Term auf der rechten Seite. Der setzt sich aus der Standardabweichung s, der Anzahl der Messwerte n und einem zusätzlichen Faktor t zusammen. Wenn die Streuung der Messwerte also klein ist oder die Anzahl der Messwerte n groß, so kann man den Mittelwert der GG immer besser mit dem Stichproben-Mittelwert identifizieren.
Wenn zwei Zeitreihen mit jeweils n Werten vorliegen und jeweils ihre Maßzahlen
m1, m2 und s1, s2 berechnet sind, so kann ich auch entscheiden, ob sich die
beiden Zeitreihen signifikant unterscheiden oder ob sie nur zwei Stichproben aus derselben GG sind.
Das geht so: man bildet t1 = |m1-m2|*wurzel(n)/wurzel(s1^2+s2^2), f = 2n-2
und vergleicht dieses t1 mit dem oben schon erwähnten t. Bei t1Stichproben signifikant aus derselben GG.
Zu diesem t (aus dem t-Test):
das t wird größer je sicherer ich mit meiner Aussage sein will, daß
die vorliegende Stichprobe zu einer GG behört bzw. beide Stichproben
zur selben GG. Diese Sicherheit nennt man Signifikanz und wird üblicherweise
in Prozent angegeben. 100% Signifikanz heißt, das meine Aussage todsicher ist.
Die kann ich aber bei nur endlich vielen Messwerte nie erreichen. Typisch
für eine befriedigende Signifikanz sind 95% oder 90%. 95% Signifikanz heißt,
daß nur in 5% aller Fälle von Stichproben meine anhand der Überprüfung
gewonnene Aussage falsch ist. Wenn ich also sage, daß zwei
Stichproben-Mittelwerte mit 95%iger Signikanz gleich sind, so können
sie dennoch aus verschiedenen GGs stammen, aber eben nur selten.
Das t ist dummerweise noch von der Werteanzahl n abhängig
(über das f, den Freiheitsgrad). Für n > 30 ändert sich t aber nicht
mehr stark. Bei 95%-Signifikanz ist t=1.96, bei 90% 1.645, bei 99% 2.576.
3. Wie entscheide ich nun, ob eine Zeitreihe einen (linearen) Trend
aufweist?
Das geht so, man berechnet schrittweise den Korrelationskoeffizienten r
(m Mittelwert, s Standardabweichung der Zeitreihe)
a) bilde die Produkte aus Zeitpunkt * Messwert zu diesem Zeitpunkt: 1*x1, 2*x2,...n*xn
b) summiere die Produkte auf: ST = x1+2*x2+3*x3+...n*xn
c) berechne den Dividenden A = ST - m*n*(n+1)/2
d) berechne den Divisor B = s*(n-1)*wurzel(n*(n+1)/12))
e) der Korrelationskoeffizient r ist dann: r = A/B.
Wenn der signifikant positiv ist, so liegt ein positiver
Trend vor und umgekehrt. Wie entscheidet man, ob er das ist?
Wenn das Intervall zwischen r - t*(1-r*r)/wurzel(n-1)
und r + t*(1-r*r)/wurzel(n-1) nicht die Null
enthält, so liegt ein Trend mit der durch t gegegenen Signifikanz vor.
Das Intervall gibt analog zur Signifikanz des Mittelwertes an, wie
"echt" die Korrelation (der Trend) ist. Wenn das Intervall um r die Null
einschließt, so kann man nicht signifikant ausschließen, daß keine
Korrelation (Trend) vorliegt.
Wer meinen Ausführungen bis hierhin gefolgt ist, der kann sich schon mal
ein paar Beispiele zurechtlegen, die er überprüft haben will.
Ich bitte darum!
Fokker